lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)] 的答案和解法

x→0时2x+x^3→0 x-x^2→0 即tan(2x+x^3)→0 ,sin(x-x^2)→0
分子分母同时→0 适用于洛必塔法则
lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)]
=lim(x→0){[tan(2x+x^3)]'/[sin(x-x^2)] '}
=lim(x→0){[sec(2x+x^3)]^2*(2+3x^2)]/[cos(x-x^2) *(1-2x)]}
x→0,sec(2x+x^3)→1,cos(x-x^2)→1,(2+3x^2)→2 ,(1-2x)→1
所以上式极限为
=2

利用等价无穷小

在x→0时，tanx和sinx都是x的等价无穷小

x→0时2x+x^3和x-x^2也都趋近于0

因此x→0时，2x+x^3是tan(2x+x^3)的等价无穷小，同时x-x^2是sin(x-x^2)的等价无穷小

因此lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)] =lim(x→0)[(2x+x^3)/(x-x^2)]

上下同除以x，得lim(x→0)[(2x+x^3)/(x-x^2)] = lim(x→0)[(2+x^2)/(1-x)]

这个时候就可以把x=0代进去，求得结果是2

如果还有不明白的地方，可以给我发消息

因为tan(2x+x^3)的等价无穷小为2x+x^3，sin(x-x^2)的等价无穷小为x-x^2

所以：

原式=lim(x→0)[（2x+x^3）/(x-x^2)]
=lim(x→0)[（2+x^2)/(1-x)]
=2

可以先把他分解 再化简得到

也可以直接求导数得到答案

对其进行求导就可以啦